Función Cuadrática

Está definida en f: R --> R donde R es el dominio y R el codominio. 

El ámbito nunca es R.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola

Su criterio es 

Concavidad:

Si  a > 0 es cóncava hacia arriba

Si a < 0 es concava hacia abajo

 

Interseccion con el eje x:

 

Se encuentra haciendo                           

De acuerdo al valor del discriminante:                                                    se dan 3 casos:

- Si   ∆ > 0   entonces hay dos cortes con el eje x

                                                                   (x1,0) ^ (x2,0)

- Si  ∆  =  0  entonces hay un solo corte con el eje x:  (x1,0)

- Si  ∆ <  0  entonces NO hay un corte con el eje x.

Interseccion con eje y toda función cuadrática corta al eje y en (0,c)

Vértice
- Es el punto mínimo si la parábola es cóncava hacia arriba

- Es el punto máximo si la parábola es cóncava hacia abajo

Eje de simetría

 
Es una recta paralela al eje y divide la parábaloa en partes iguales

Intervalo de crecimiento y decrecimiento

 
Si el vértice es un punto máximo entonces:

Intervalo de Crecimiento 

Intervalo de Decrecimiento

- Si el vértice es un punto mínimo entonces

Intervalo de Crecimiento

Intervalo de Decrecimiento

Ámbito o Rango

Cuando la parábola es cóncava hacia abajo el ámbito va a ser:

Cuando la parábola es cóncava hacia arriba el ámbito va a ser:  

Ejemplos de criterios de funciones cuadráticas

1)      y=-2x²+4x-1

2)      y=x²-3x

3)      f(x) = x² + 6x

4)      G(x) = - 100 x² + 2500 x + 15000

5)      g(x) = x²  + 16

Ejemplos de gráficas

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x² cuya gráfica es:

x	-3	-2	-1	-0'5	0	0'5	1	2	3
f(x) = x2	9	4	1	0'25	0	0'25	1	4	9

Esta curva simétrica se llama parábola.

Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la gráfica de f(x) =  x²  -2 x - 3.

x	-1	0	1	2	3	4
f(x)	0	-3	-4	-3	0	5

Completando la gráfica obtengo:

1) Dada la parábola  y = x²  - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura:

a.   Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir,  y = 3'5 ² - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).

b.   Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.

c.   El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 0² - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3).

d.   D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:

, que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45  y  x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).

e.   Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x² - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).

f.   Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 2² - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).

g.   Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima" de H.

Como x = 5, entonces y = 5² - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2).

h.   Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola , cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).

2) Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola

y = x² - x + 1 .

a.   A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 0²- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).

b.   B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x² - x + 1; 0 = x²- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).

c.   La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir, .La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)²- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).

d.   Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,

y = 2²-2+1=3. C = (2,3).

Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax² + bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.

3) Dada la parábola  y =- x² + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos indicados.

Cortes con los ejes

Observa las parábolas:

Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x² + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.

Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).

El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3).

4)   y = x² - 4x + 4

Puntos de corte con el eje X:

Resolviendo la ecuación x² - 4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2, que nos proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0).

Punto de corte con el eje Y: (0,4). 

5)   y = x² - 2x + 3

Puntos de corte con el eje X:

Si resolvemos la ecuación x² - 2x + 3 = 0 obtenemos que . No existe solución y, por lo tanto, no tiene cortes con el eje X.

Punto de corte con el eje Y: (0,3)